Як знайти область збіжності ряду

Як знайти область збіжності ряду

Дослідження функцій дуже часто можна полегшити, розклавши їх в числовий ряд. Вивчаючи числові ряди, особливо, якщо ці ряди статечні, важливо вміти визначати і аналізувати їх збіжність.

Інструкція

  1. Нехай заданий числовий ряд U0 + U1 + U2 + U3 + … + Un + … =? Un. Un — вираз для загального члена цього ряду.

    Підсумовуючи члени ряду від початку до деякого кінцевого n, ви отримуєте проміжні суми ряду.

    Якщо в міру зростання n ці суми прагнуть до якоїсь кінцевої величині, то ряд називають збіжним. Якщо ж вони зростають або убувають нескінченно, то ряд розходиться.
  2. Щоб визначити, сходиться заданий ряд, перш за все перевірте, чи прагне його загальний член Un до нуля при нескінченному зростанні n. Якщо ця межа не дорівнює нулю, то ряд розходиться. Якщо ж дорівнює, то ряд, можливо, що сходиться.

    Наприклад, ряд ступенів двійки: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … + 2 ^ n + … — розходиться, оскільки його загальний член в межі прагне до нескінченності.

    Гармонійний ряд 1 + 1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 4 + … + 1 / n + … розходиться, хоча його загальний член і прагне в межі до нуля. З іншого боку, ряд 1 + 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + … + 1 / (2 ^ n) + … сходиться, і межа його суми дорівнює 2.
  3. Припустимо, що нам дано два ряди, загальні члени яких рівні відповідно Un і Vn. Якщо є таке кінцеве N, що починаючи з нього, Un? Vn, то ці ряди можна порівнювати між собою. Якщо нам відомо, що ряд U сходиться, то ряд V теж абсолютно точно сходиться. Якщо ж відомо, що ряд V розходиться, то і ряд U — розбіжний.
  4. Якщо всі члени ряду позитивні, то його збіжність можна оцінити за ознакою Даламбера. Знайдіть коефіцієнт p = lim (U (n1) / Un) при n? ?. Якщо p 1 ряд однозначно розходиться, але якщо p = 1, то потрібне додаткове дослідження.
  5. Якщо знаки членів ряду чергуються, тобто ряд має вигляд U0 — U1 + U2 — … + ((-1) ^ n) Un + …, то такий ряд називається знакозмінних або Знакозмінні. Збіжність цього ряду визначається ознакою Лейбніца. Якщо загальний член Un при зростанні n прагне до нуля, і для кожного n Un> U (n + 1), то ряд сходиться.
  6. При аналізі функцій найчастіше доводиться мати справу зі статечними рядами. Степенній ряд — це функція, задана виразом:

    f (x) = a0 + a1 * x + a2 * x ^ 2 + a3 * x ^ 3 + … + an * x ^ n + …

    Збіжність такого ряду, природно залежить від значення x. Тому для степеневого ряду існує поняття діапазону всіх можливих значень x, при яких ряд сходиться. Цей діапазон дорівнює (-R; R), де R — радіус збіжності. Усередині нього ряд сходиться завжди, за його межами завжди розходиться, на самому кордоні може як сходитися, так і розходитися.

    R = lim | an / a (n1) | при n? ?.

    Таким чином, для аналізу збіжності степеневого ряду досить знайти R і перевірити відповідність низки на межі діапазону, тобто при x = ± R.
  7. Наприклад, нехай вам дано ряд, що представляє собою розкладання в ряд Маклорена функції e ^ x:

    e ^ x = 1 + x + (x ^ 2) / 2! + (X ^ 3) / 3! + … + (X ^ n) / n! + …

    Ставлення an / a (n1) дорівнює (1 / n!) / (1 / (n1)!) = (N1)! / N! = N + 1. Межа цього відношення при n? ? дорівнює?. Отже, R =?, І ряд сходиться на всій дійсній осі.