Як знайти площу і об’єм куба

Як знайти площу і об'єм куба

Куб — це прямокутний паралелепіпед, всі ребра якого рівні. Тому загальна формула для об’єму прямокутного паралелепіпеда і формула для площі його поверхні у випадку куба спрощуються. Також обсяг куба і його площа поверхні можна знайти, знаючи об’єм кулі, вписаної в нього, або кулі, описаного навколо нього.

Вам знадобиться

довжина сторони куба, радіус вписаного і описаного кулі

Інструкція

  1. Обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює: V = abc — де a, b, c — його вимірювання. Тому обсяг куба дорівнює V = a * a * a = a ^ 3, де a — довжина сторони куба.

    Площа поверхні куба дорівнює сумі площ всіх його граней. Всього у куба шість граней, тому площа його поверхні дорівнює S = 6 * (a ^ 2).
  2. Нехай кулю вписано в куб. Очевидно, діаметр цієї кулі буде дорівнює стороні куба. Підставляючи довжину діаметра у вирази для обсягу замість довжини ребра куба й використовуючи, що діаметр дорівнює подвоєному радіусу, отримаємо тоді V = d * d * d = 2r * 2r * 2r = 8 * (r ^ 3), де d — діаметр вписаного кола , а r — радіус вписаного кола.

    Площа поверхні куба тоді буде дорівнює S = 6 * (d ^ 2) = 24 * (r ^ 2).
  3. Нехай кулю описаний навколо куба. Тоді його діаметр буде збігатися з діагоналлю куба. Діагональ куба проходить через центр куба і з’єднує дві його протилежні точки.

    Розгляньте для початку одну з граней куба. Ребра цієї грані є катетами прямокутного трикутника, в якому діагональ грані d буде гіпотенузою. Тоді по теоремі Піфагора отримаємо: d = sqrt ((a ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2) * a.
  4. Потім розгляньте трикутник в якому гіпотенузою буде діагональ куба, а діагональ грані d і одне з ребер куба a — його катетами. Аналогічно, по теоремі Піфагора отримаємо: D = sqrt ((d ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2 * (a ^ 2) + (a ^ 2)) = a * sqrt (3).

    Отже, за виведеною формулою діагональ куба дорівнює D = a * sqrt (3). Звідси, a = D / sqrt (3) = 2R/sqrt (3). Отже, V = 8 * (R ^ 3) / (3 * sqrt (3)), де R — радіус описаного кулі.

    Площа поверхні куба дорівнює S = 6 * ((D / sqrt (3)) ^ 2) = 6 * (D ^ 2) / 3 = 2 * (D ^ 2) = 8 * (R ^ 2).