Як знайти площу паралелограма, побудованого на векторах

Як знайти площу паралелограма, побудованого на векторах

Площа паралелограма, побудованого на векторах, обчислюється як добуток довжин цих векторів на синус кута між ними. Якщо відомі тільки координати векторів, то для обчислення потрібно застосовувати координатні методи, в тому числі і для визначення кута між векторами.

Вам знадобиться

- Поняття вектора;
- Властивості векторів;
- Декартові координати;
- Тригонометричні функції.

Інструкція

  1. У тому випадку, якщо відомі довжини векторів і кут між ними, то для того, щоб знайти площу паралелограма, побудованого на векторах, знайдіть добуток їхніх модулів (довжин векторів), на синус кута між ними S = ​​│ a │ • │ b │ • sin (α).
  2. Якщо вектори задані в декартовій системі координат, то для того, щоб знайти площу паралелограма, побудованого на них, виконайте наступні дії:
  3. Знайдіть координати векторів, якщо вони не дані відразу, віднявши від відповідних координат кінців векторів, координати з початків. Наприклад, якщо координати початкової точки вектора (1; -3; 2), а кінцевою (2; -4; -5), то координати вектора будуть (2-1; -4 +3; -5-2) = (1 ; -1; -7). Нехай координати вектора а (x1; y1; z1), вектора b (x2; y2; z2).
  4. Знайдіть довжини кожного з векторів. Зведіть кожну з координат векторів в квадрат, знайдіть їх суму x1 ² + y1 ² + z1 ². З отриманого результату вийміть корінь квадратний. Для другого вектора проробіть ту ж процедуру. Таким чином, вийде │ a │ й │ b │.
  5. Знайдіть скалярний добуток векторів. Для цього перемножте їх відповідні координати і складіть твори │ ab │ = x1 • x2 + y1 • y2 + z1 • z2.
  6. Визначте косинус кута між ними для чого скалярний добуток векторів, що вийшло в п.3 поділіть на твір довжин векторів, які були розраховані в п. 2 (Cos (α) = │ ab │ / (│ a │ • │ b │)).
  7. Синус отриманого кута дорівнюватиме кореню квадратному з різниці числа 1, і квадрата косинуса того ж кута, розрахованого в п. 4 (1-Cos ² (α)).
  8. Розрахуйте площа паралелограма, побудованого на векторах знайшовши добуток їхніх довжин, обчислене в п. 2, а результат помножте на число, що вийшло після розрахунків в п.5.
  9. У тому випадку, якщо координати векторів задані на площині, при розрахунках координата z просто відкидається. Даний розрахунок є числовим вираженням векторного добутку двох векторів.