Як знайти площу перерізу кулі

Як знайти площу перерізу кулі

Нехай дано кулю з радіусом R, який на деякій відстані b від центру перетинає площину. Відстань b менше або дорівнює радіусу кулі. Потрібно знайти площу S виходить при цьому перетину.

Інструкція

  1. Очевидно, що якщо відстань від центру кулі до площини дорівнює радіусу площині, то площина стосується кулі тільки в одній точці, і площа перерізу буде дорівнює нулю, тобто якщо b = R, то S = 0. Якщо b = 0, то січна площина проходить через центр кулі. В цьому випадку перетин представлятиме собою коло, радіус якого збігається з радіусом кулі. Площа цього кола буде, згідно з формулою, дорівнює S = πR ^ 2.
  2. Ці два крайніх випадки дають кордону, між якими завжди буде лежати шукана площа: 0 <S <πR ^ 2. При цьому будь-який перетин кулі площиною завжди є кругом. Отже, завдання зводиться до того, щоб знайти радіус кола перерізу. Тоді площа цього перерізу обчислюється за формулою площі круга.
  3. Оскільки відстань від точки до площини визначається як довжина відрізка, перпендикулярного площини і починається в точці, другий кінець цього відрізка буде збігатися з центром кола перерізу. Такий висновок випливає з визначення кулі: очевидно, що всі точки кола перетину належать сфері, а отже, лежать на рівній відстані від центру кулі. Це означає, що кожна точка кола перерізу може вважатися вершиною прямокутного трикутника, гіпотенузою якого є радіус кулі, одним з катетів — перпендикулярний відрізок, що з’єднує центр кулі з площиною, а другим катетом — радіус кола перерізу.
  4. З трьох сторін цього трикутника задані два — радіус кулі R і відстань b, тобто гіпотенуза і катет. За теоремою Піфагора довжина другого катета повинна дорівнювати √ (R ^ 2 — b ^ 2). Це і є радіус кола перерізу. Підставляючи знайдене значення радіуса в формулу площі круга, легко прийти до висновку, що площа перерізу кулі площиною дорівнює:

    S = π (R ^ 2 — b ^ 2).

    В окремих випадках, коли b = R або b = 0, виведена формула повністю узгоджується з уже знайденими результатами.