Як знайти площу трапеції, якщо відомі діагоналі

Як знайти площу трапеції, якщо відомі діагоналі

Трапецією називається чотирикутник, дві сторони якого один одному паралельні. Основна формула площі трапеції — твір напівсума підстави на висоту. У деяких геометричних задачах на знаходження площі трапеції використовувати основну формулу неможливо, але дані довжини діагоналей. Як бути?

Інструкція

  1. Загальна формула

    Використовуйте загальну формулу площі для довільного чотирикутника:

    S = 1 / 2 • AC • BD • sinφ, де AC і BD — довжини діагоналей, φ — кут між діагоналями.
  2. Якщо потрібно довести або вивести цю формулу, розбийте трапецію на 4 трикутника. Запишіть формулу площі кожного з трикутників (1 / 2 твори сторін на синус кута між ними). Беріть той кут, який утворюється перетином діагоналей. Далі використовуйте властивість адитивності площі: запишіть площа трапеції як суму площ утворюють її трикутників. Згрупуйте доданки, винісши множник 1 / 2 і синус за дужки (враховуючи, що sin (180 °-φ) = sinφ). Отримайте вихідну формулу площі чотирикутника.

    Взагалі, корисно розглядати площа трапеції як суму площ складових її трикутників. Найчастіше це є ключем до вирішення завдання.
  3. Важливі теореми

    Теореми, які можуть знадобитися, якщо числове значення кута між діагоналями не призначено в явному вигляді:

    1) Сума всіх кутів трикутника дорівнює 180 °.

    У загальному випадку, сума всіх кутів опуклого багатокутника дорівнює 180 ° • (n-2), де n — число сторін багатокутника (рівне числу його кутів).

    2) Теорема синусів для трикутника зі сторонами a, b і c:

    a / sinA = b / sinB = c / sinC, де A, B, C — кути, що лежать напроти сторін a, b, c відповідно.

    3) Теорема косинусів для трикутника зі сторонами a, b і c:

    c ² = a ² + b ² -2 • a • b • cosα, де α — кут трикутника, утворений сторонами a і b. Теорема косинусів має своїм приватним випадком знамениту теорему Піфагора, тому що cos90 ° = 0.
  4. Особливі властивості трапеції — равнобокой

    Зверніть увагу на властивості трапеції, зазначені в умові завдання. Якщо дана рівнобедрена трапеція (бічні сторони рівні), використовуйте то її властивість, що діагоналі в ній рівні.
  5. Особливі властивості трапеції — наявність прямого кута

    Якщо дана прямокутна трапеція (один з кутів трапеції прямий), розгляньте прямокутні трикутники, що знаходяться всередині трапеції. Згадайте, що площа прямокутного трикутника дорівнює половині твори його сторін, що утворюють прямий кут, тому що sin90 ° = 1.