Трикутник — це найпростіша з багатокутних плоских фігур, яку можна задати за допомогою координат точок у вершинах її кутів. Площа ділянки площині, який буде обмежений сторонами цієї фігури, в декартовій системі координат можна обчислити кількома способами.
Інструкція
- Якщо координати вершин трикутника дано у двомірному просторі декартовому, то спочатку складіть матрицю з різниць значень координат точок, що лежать в вершинах. Потім використовуйте визначник другого порядку для отриманої матриці — він буде дорівнює векторному добутку двох векторів, що складають сторони трикутника. Якщо позначити координати вершин як A (X ₁, Y ₁), B (X ₂, Y ₂) і C (X ₃, Y ₃), то формулу площі трикутника можна записати так: S = | (X ₁-X ₃) • (Y ₂-Y ₃) — ( X ₂-X ₃) • (Y ₁-Y ₃) | / 2.
- Наприклад, нехай дано такі координати вершин трикутника на двомірної площини: A (-2, 2), B (3, 3) і C (5, -2). Тоді, підставивши числові значення змінних у наведену на попередньому кроці формулу, ви отримаєте: S = | (-2-5) • (3 — (-2)) — (3-5) • (2 — (-2)) | / 2 = | -7 • 5 — (-2) • 4 | / 2 = | -35 +8 | / 2 = 27 / 2 = 13,5 сантиметрів.
- Можна діяти по-іншому — спочатку обчислити довжини всіх сторін, а потім використовувати формулу Герона, яка визначає площа трикутника саме через довжини його сторін. У цьому випадку спочатку знайдіть довжини сторін, використовуючи теорему Піфагора для прямокутного трикутника, складеного з самої сторони (гіпотенуза) і проекцій кожної сторони на осі координат (катети). Якщо позначити координати вершин як A (X ₁, Y ₁), B (X ₂, Y ₂) і C (X ₃, Y ₃), то довжини сторін будуть наступними: AB = √ ((X ₁-X ₂) ² + (Y ₁-Y ₂) ²) , BC = √ ((X ₂-X ₃) ² + (Y ₂-Y ₃) ²), CA = √ ((X ₃-X ₁) ² + (Y ₃-Y ₁) ²). Наприклад, для координат вершин трикутника, наведених на другому кроці, ці довжини складуть AB = √ ((-2-3) ² + (2-3) ²) = √ ((-5 )²+(- 1) ²) = √ (25 +1) ≈ 5,1, BC = √ ((3-5) ² + (3 — (-2 ))²)= √ ((-2) ²) +5 ²) = √ (4 +25 ) ≈ 5,36, CA = √ ((5 — (-2 ))²+(- 2-2) ²) = √ (7 ² + (-4) ²) = √ (49 +16) ≈ 8,06 .
- Знайдіть напівпериметр, склавши відомі тепер довжини сторін і розділивши результат на двійку: Наприклад, для довжин сторін, розрахованих на попередньому кроці, напівпериметр буде приблизно дорівнює p ≈ (5,1 +5,36 +8,06) / 2 ≈ 9,26.
- Розрахуйте площа трикутника за формулою Герона S = √ (p (p-AB) (p-BC) (p-CA)). Наприклад, для зразка з попередніх кроків: S = √ (9,26 • (9,26-5,1) • (9,26-5,36) • (9,26-8,06)) = √ (9 , 26 • 4,16 • 3,9 • 1,2) = √ 180,28 ≈ 13,42. Як бачите, результат на вісім сотих відрізняється від отриманого на другому кроці — це результат заокруглень, використаних при розрахунках на третьому, четвертому і п’ятому кроках.
