Як знайти похилу асимптоту

Як знайти похилу асимптоту

Асимптота функції — лінія, до якої необмежено наближається графік цієї функції. У широкому сенсі асимптотична лінія може бути і криволінійною, однак найчастіше цим словом позначають прямі лінії.

Інструкція

  1. Якщо задана функція має асимптоти, то вони можуть бути вертикальними або похилими. Існують також горизонтальні асимптоти, що є окремим випадком похилих.
  2. Припустимо, що вам дана функція f (x). Якщо вона не визначена в деякій точці x0 і в міру наближення x до x0 зліва чи справа f (x) прагне до нескінченності, то в цій точці функція має вертикальну асимптоту. Наприклад, в точці x = 0 втрачають сенс функції 1 / x і ln (x). Якщо x? 0, то 1 / x? ?, А ln (x)? -?. Отже, обидві функції в цій точці мають вертикальну асимптоту.
  3. Похила асимптота — пряма, до якої необмежено прагне графік функції f (x) у міру того, як x необмежено зростає або убуває. Функція може мати і вертикальні, і похилі асимптоти.

    У практичних цілях розрізняють похилі асимптоти при x? ? і при x? -?. У ряді випадків функція може прагнути до однієї і тієї ж асимптоти в обидві сторони, але, взагалі кажучи, вони не зобов’язані збігатися.
  4. Асимптота, як і всяка похила пряма, має рівняння виду y = kx + b, де k і b — константи.

    Пряма буде похилій асимптотой функції при x? ?, Якщо в міру прагнення x до нескінченності різниця f (x) — (kxb) прагне до нуля. Аналогічно, якщо ця різниця прямує до нуля при x? -?, То пряма kx + b буде похилій асимптотой функції в цьому напрямку.
  5. Щоб зрозуміти, чи має задана функція похилу асимптоту, і якщо має — знайти її рівняння, потрібно обчислити константи k і b. Метод обчислення не змінюється від того, в якому напрямку ви шукаєте асимптоту.

    Константа k, також звана кутовим коефіцієнтом похилій асимптоти, є межею відносини f (x) / x при x? ?.

    Наприклад, шлях задана функція f (x) = 1 / x + x. Ставлення f (x) / x буде в цьому випадку дорівнює 1 + 1 / (x ^ 2). Його межа при x? ? дорівнює 1. Отже, задана функція має похилу асимптоту з кутовим коефіцієнтом 1.

    Якщо коефіцієнт k виходить нульовим, це означає, що похила асимптота заданої функції горизонтальна, і її рівняння y = b.
  6. Щоб знайти константу b, тобто зміщення потрібної нам прямій, знадобиться обчислити межа різниці f (x) — kx. У нашому випадку ця різниця дорівнює (1 / x + x) — x = 1 / x. При x? ? межа 1 / x дорівнює нулю. Таким чином, b = 0.
  7. Остаточний висновок полягає в тому, що функція 1 / x + x має похилу асимптоту в напрямку плюс нескінченності, рівняння якої y = x. Тим же способом легко довести, що ця ж пряма є похилою асимптотой заданої функції і в напрямку мінус нескінченності.