Як знайти повний диференціал функції

Як знайти повний диференціал функції

Поняття повного диференціала функції вивчається в розділі математичного аналізу поряд з інтегральним обчисленням і передбачає визначення приватних похідних по кожному аргументу вихідної функції.

Інструкція

  1. Диференціал (від лат. «Різницю») — це лінійна частина повного приросту функції. Диференціал прийнято позначати df, де f — функція. Функцію одного аргументу іноді зображають dxf або dxF. Припустимо, є функція z = f (x, y), функція двох аргументів x і y. Тоді повний приріст функції матиме вигляд:

    f (x, y) — f (x_0, y_0) = f’_x (x, y) * (x — x_0) + f’_y (x, y) * (y — y_0) + α, де α — нескінченно мала величина (α → 0), яка ігнорується при визначенні похідної, оскільки lim α = 0.
  2. Диференціал функції f по аргументу x є лінійною функцією щодо збільшення (x — x_0), тобто df (x_0) = f’_x_0 (Δx).
  3. Геометричний сенс диференціала функції: якщо функція f дифференцируема в точці x_0, то її диференціал в цій точці є прирощення ординати (y) дотичній лінії до графіка функції.

    Геометричний сенс повного диференціала функції двох аргументів — це тривимірний аналог геометричного сенсу диференціала функції одного аргументу, тобто це збільшення аплікати (z) дотичної площини до поверхні, рівняння якої задано дифференцируемой функцією.
  4. Можна записати повний диференціал функції через приросту функції і аргументів, це більш загальноприйнята форма запису:

    Δz = (δz / δx) dx + (δz / δy) dy, де δz / δx — похідна функції z по аргументу x, δz / δy — похідна функції z по аргументу y.

    Кажуть, що функція f (x, y) дифференцируема в точці (x, y), якщо при таких значеннях x і y можна визначити повний диференціал цієї функції.

    Вираз (δz / δx) dx + (δz / δy) dy і є лінійна частина приросту вихідної функції, де (δz / δx) dx — диференціал функції z за x, а (δz / δy) dy — диференціал по y. При диференціюванні по одному з аргументів передбачається, що інший аргумент чи аргументи (якщо їх декілька) — постійні величини.
  5. Приклад.

    Знайдіть повний диференціал наступної функції: z = 7 * x ^ 2 + 12 * y — 5 * x ^ 2 * y ^ 2.

    Рішення.

    Використовуючи припущення, що y — постійна величина, знайдіть приватну похідну по аргументу x,

    δz / δx = (7 * x ^ 2 + 12 * y — 5 * x ^ 2 * y ^ 2) ‘dx = 7 * 2 * x + 0 — 5 * 2 * x * y ^ 2 = 14 * x — 10 * x * y ^ 2;

    Використовуючи припущення, що x — постійна величина, знайдіть приватну похідну по аргументу y:

    δz / δy = (7 * x ^ 2 + 12 * y — 5 * x ^ 2 * y ^ 2) ‘dy = 0 + 12 — 5 * 2 * x ^ 2 * y = 12 — 10x ^ 2 * y.
  6. Запишіть повний диференціал функції:

    dz = (δz / δx) dx + (δz / δy) dy = (14 * x — 10 * x * y ^ 2) dx + (12 — 10x ^ 2 * y).

Зверніть увагу

В якійсь точці функції можуть бути визначені приватні похідні по одному з аргументів, але при цьому диференціал може не існувати для сукупності цих значень.