Як знайти проміжки зростання функцій

Як знайти проміжки зростання функцій

Нехай задана функція — f (x), визначена своїм рівнянням. Завдання полягає в тому, щоб знайти проміжки її монотонного зростання або монотонного убування.

Інструкція

  1. Функція f (x) називається монотонно зростаючою на проміжку (a, b), якщо для будь-якого x, що належить цьому проміжку, f (a) <f (x) <f (b).

    Функція називається монотонно спадною на проміжку (a, b), якщо для будь-якого x, що належить цьому проміжку, f (a)> f (x)> f (b).

    Якщо не дотримується жодне з цих умов, то функцію можна назвати ні монотонно зростаючою, ні монотонно спадною. У цих випадках потрібне додаткове дослідження.

  2. Лінійна функція f (x) = kx + b монотонно зростає на всій своїй області визначення, якщо k> 0, і монотонно убуває, якщо k <0. Якщо k = 0, то функція є константою і її не можна назвати ні зростаючій, ні порядку спадання.
  3. Експоненціальна функція f (x) = a ^ x монотонно зростає на всій області визначення, якщо a> 1, і монотонно убуває, якщо 0 <a <1. Якщо a = 1, то функція, як і в попередньому випадку, перетворюється на константу.
  4. У загальному випадку функція f (x) може мати на заданій ділянці кілька проміжків зростання та спадання. Щоб їх знайти, необхідно досліджувати її на екстремуми.
  5. Якщо задана функція f (x), то її похідна позначається f? (X). Вихідна функція має точку екстремуму там, де її похідна звертається в нуль. Якщо при проходженні цієї точки похідна змінює знак з плюса на мінус, то знайдена точка максимуму. Якщо похідна змінює знак з мінуса на плюс, то знайдений екстремум — точка мінімуму.
  6. Нехай f (x) = 3x ^ 2 — 4x + 16, а проміжок, на якому її потрібно досліджувати — (-3, 10). Похідна функції дорівнює f? (X) = 6x — 4. Вона звертається в нуль в точці xm = 2 / 3. Оскільки f? (X) <0 для будь-якого x <2 / 3 і f? (X)> 0 для будь-якого x> 2 / 3, то в знайденої точці у функції f (x) знаходиться мінімум. Її значення в цій точці дорівнює f (xm) = 3 * (2 / 3) ^ 2 — 4 * (2 / 3) + 16 = 14, (6).
  7. Виявлений мінімум лежить в межах заданої ділянки. Для подальшого аналізу необхідно обчислити f (a) і f (b). У даному випадку:

    f (a) = f (-3) = 3 * (-3) ^ 2 — 4 * (-3) + 16 = 55,

    f (b) = f (10) = 3 * 10 ^ 2 — 4 * 10 + 16 = 276.
  8. Оскільки f (a)> f (xm) <f (b), то задана функція f (x) монотонно убуває на відрізку (-3, 2 / 3) і монотонно зростає на відрізку (2 / 3, 10).