Як знайти рівняння дотичної до графіка функції

Як знайти рівняння дотичної до графіка функції

Ця інструкція містить відповідь на питання, як знайти рівняння дотичної до графіка функції. Наведено вичерпна довідкова інформація. Застосування теоретичних викладок розібрано на конкретному прикладі.

Інструкція

  1. Довідковий матеріал.

    Для початку дамо визначення дотичній. Дотичної до кривої в даній точці М називається граничне положення січної NM, коли точка N наближається вздовж кривої до точки М.

    Знайдемо рівняння дотичної до графіка функції y = f (x).
  2. Визначаємо кутовий коефіцієнт дотичної до кривої в точці М.

    Крива, що представляє собою графік функції y = f (x), неперервна в деякій околиці точки М (включаючи саму точку М).

    Проведемо січну MN1, що утворить з позитивним напрямом осі Ox кут α.

    Координати точки М (x; y), координати точки N1 (x + Δx; y + Δy).

    З отриманого трикутника MN1N можна знайти кутовий коефіцієнт цієї січною:

     tg α = Δy / Δx

    MN = Δx

    NN1 = Δy

    При прагненні точки N1 по кривій до точки M січна MN1 повертається навколо точки M, причому кут α прагне до кута φ між дотичною MT і позитивним напрямом осі Ox.

    k = tg φ = 〖lim〗 ┬ (Δx → 0) ⁡ 〖〗 Δy / Δx = f `(x)

    Таким чином, кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції дорівнює значенню похідної цієї функції в точці дотику. У цьому полягає геометричний зміст похідної.
  3. Рівняння дотичної до заданої кривої в заданій точці М має вигляд:

     y — y0 = f `(x0) (x — x0),

    де (x0; y0) — координати точки дотику,

    (X; y) — поточні координати, тобто координати будь-якої точки, що належить дотичній,

    f `(x0) = k = tg α — кутовий коефіцієнт дотичної.
  4. Знайдемо рівняння дотичній на прикладі.

    Дан графік функції y = x2 — 2x. Потрібно знайти рівняння дотичної в точці з абсцисою x0 = 3.

    З рівняння даної кривої знаходимо ординату точки дотику y0 = 32 — 2 ∙ 3 ​​= 3.

    Знаходимо похідну, а потім обчислюємо її значення в точці x0 = 3.

    Маємо:

    y `= 2x — 2

    f `(3) = 2 ∙ 3 ​​- 2 = 4.

    Тепер, знаючи точку (3, 3) на кривій і кутовий коефіцієнт f `(3) = 4 дотичній в цій точці, отримуємо дані рівняння:

    y — 3 = 4 (x — 3)

    або

     y — 4x + 9 = 0