Як знайти середню лінію трикутника

Як знайти середню лінію трикутника

Середня лінія трикутника — це відрізок, що з’єднує середини двох його сторін. Відповідно, все у трикутника три середніх лінії. Знаючи властивість середньої лінії, а також довжини сторін трикутника і його кути, можна знайти довжину середньої лінії.

Вам знадобиться

Сторони трикутника, кути трикутника

Інструкція

  1. Нехай у трикутнику ABC MN — середня лінія, що з’єднує середини сторін AB (точка M) і AC (точка N).

    По властивості середня лінія трикутника, що з’єднує середини двох сторін, паралельна третій стороні і дорівнює її половині. Значить, середня лінія MN буде паралельна стороні BC і дорівнює BC / 2.

    Отже, для визначення довжини середньої лінії трикутника досить знати довжину боку саме цієї третьої сторони.
  2. Нехай тепер відомі боку, середини яких сполучає середня лінія MN, тобто AB і AC, а також кут BAC між ними. Так як MN — середня лінія, то AM = AB / 2, а AN = AC / 2.

    Тоді по теоремі косинусів справедливо: MN ^ 2 = (AM ^ 2) + (AN ^ 2) -2 * AM * AN * cos (BAC) = (AB ^ 2 / 4) + (AC ^ 2 / 4)-AB * AC * cos (BAC) / 2. Звідси, MN = sqrt ((AB ^ 2 / 4) + (AC ^ 2 / 4)-AB * AC * cos (BAC) / 2).
  3. Якщо відомі боку AB і AC, то середню лінію MN можна знайти, знаючи кут ABC або ACB. Нехай, наприклад, відомий кут ABC. Так як по властивості середньої лінії MN паралельна BC, то кути ABC і AMN — відповідні, і, отже, ABC = AMN. Тоді по теоремі косинусів: AN ^ 2 = AC ^ 2 / 4 = (AM ^ 2) + (MN ^ 2) -2 * AM * MN * cos (AMN). Отже, сторону MN можна знайти з квадратного рівняння (MN ^ 2)-AB * MN * cos (ABC) — (AC ^ 2 / 4) = 0.