Як знайти синус, косинус і тангенс

Як знайти синус, косинус і тангенс

Синус, косинус і тангенс є тригонометричними функціями. Історично вони виникли як співвідношення між сторонами прямокутного трикутника, тому зручніше за все і обчислювати їх через прямокутний трикутник. Однак через нього можна висловити тільки тригонометричні функції гострих кутів. Для тупих кутів доведеться вводити коло.

Вам знадобиться

окружність, прямокутний трикутник

Інструкція

  1. Нехай у прямокутному трикутнику кут B — прямий. AC буде гіпотенузою цього трикутника, сторони AB і BC — його катетами. Синусом гострого кута BAC буде називатися ставлення протилежного до цього кута катета BC до гіпотенузі AC. Тобто sin (BAC) = BC / AC.

    Косинусом гострого кута BAC буде називатися ставлення прилежащего до цього розі катета BC до гіпотенузі AC. Тобто cos (BAC) = AB / AC. Косинус кута можна також виразити через синус кута за допомогою основного тригонометричного тотожності: ((sin (ABC)) ^ 2) + ((cos (ABC)) ^ 2) = 1. Тоді cos (ABC) = sqrt (1 — (sin (ABC)) ^ 2).

    Тангенсом гострого кута BAC буде називатися ставлення протилежного до цього кута катета BC до прилеглої до цього розі катету AB. Тобто tg (BAC) = BC / AB. Тангенс кута також можна виразити через його синус і косинус за формулою: tg (BAC) = sin (BAC) / cos (BAC).
  2. У прямокутних трикутниках можна розглядати тільки гострі кути. Для розгляду прямих кутів необхідно вводити коло.

    Нехай O — центр декартової системи координат з осями X (вісь абцісс) і Y (вісь ординат), а також центр кола радіуса R. Відрізок OB буде радіусом цієї окружності. Кути можна виміряти як повороти від позитивного напрямку осі абсцис до променя OB. Напрямок проти годинникової стрілки вважається позитивним, за годинниковою стрілкою негативним. Абсциссу точки В позначте за xB, ординату — за yB.

    Тоді синус кута визначається як yB / R, косинус кута — xB / R, тангенс кута tg (x) = sin (x) / cos (x) = yB / xB.
  3. Косинус кута можна розрахувати і в будь-якому трикутнику, якщо відомі довжини всіх його сторін. За теоремою косинусів AB ^ 2 = ((AC) ^ 2) + ((BC) ^ 2) -2 * AC * BC * cos (ACB). Звідси, cos (ACB) = ((AC ^ 2) + (BC ^ 2) — (AB ^ 2)) / (2 * AC * BC).

    Синус і тангенс цього кута можна обчислити з наведених вище визначення тангенса кута і основного тригонометричного тотожності.