Як знайти синус кута по сторонам трикутника

Як знайти синус кута по сторонам трикутника

Синус — це одна з базових тригонометричних функцій. Спочатку формула її знаходження була виведена з співвідношень довжин сторін у прямокутному трикутнику. Нижче наведені як ці базові варіанти знаходження синусів кутів по довжинах сторін трикутника, так і формули для більш складних випадків з довільними трикутниками.

Інструкція

  1. Якщо розглянутий трикутник є прямокутним, то можна використовувати базове визначення тригонометричної функції синуса для гострих кутів. За визначенням синусом кута називають співвідношення довжини катета, що лежить напроти цього кута, до довжини гіпотенузи цього трикутника. Тобто, якщо катети мають довжину А і В, а довжина гіпотенузи дорівнює С, то синус кута?, Що лежить навпроти катета А, визначайте за формулою? = А / С, а синус кута?, Що лежить навпроти катета В — за формулою? = В / С. Синус третього кута в прямокутному трикутнику знаходити немає необхідності, оскільки кут, що лежить навпроти гіпотенузи завжди дорівнює 90 °, а його синус завжди дорівнює одиниці.
  2. Для знаходження синусів кутів в довільному трикутнику, як це не дивно, простіше використовувати не теорему синусів, а теорему косинусів. Вона говорить, що зведена в квадрат довжина будь-якого боку дорівнює сумі квадратів довжин двох інших сторін без подвоєного добутку цих довжин на косинус кута між ними: А? = В? + С2-2 * В * С * cos (?). З цієї теореми можна вивести формулу для знаходження косинуса: cos (?)=( В? + С?-А?) / (2 * В * С). А оскільки сума квадратів синуса і косинуса одного і того ж кута завжди дорівнює одиниці, то можна вивести і формулу для знаходження синуса кута?: Sin (?)=?( 1 — (cos (?))?)=? (1 — ( В? + С?-А ?)?/( 2 * В * С)?).
  3. Скористайтеся для знаходження синуса кута двома різними формулами розрахунку площі трикутника, в одній з яких задіяні тільки довжини його сторін, а в іншій — довжини двох сторін і синус кута між ними. Так як результати їх будуть рівні, то з тотожності можна висловити синус кута. Формула знаходження площі через довжини сторін (формула Герона) виглядає так: S =?*?(( А + В + С) * (В + С-А) * (А + С-В) * (А + В-С) ). А другу формулу можна написати так: S = А * В * sin (?). Підставте першу формулу в другу і складіть формулу для синуса кута, лежачого навпаки боку С: sin (?) = ?*?(( А + В + С) * (В + С-А) * (А + С-В) * (А + В-С) / (А * В)). Синуси двох інших кутів можна знайти за аналогічними формулами.