Як знайти сторони прямокутного трикутника за площею

Як знайти сторони прямокутного трикутника за площею

У деяких завданнях з геометрії потрібно знайти площу прямокутного трикутника, якщо відомі довжини його сторін. Так як довжини сторін прямокутного трикутника пов’язані теоремою Піфагора, а його площа дорівнює половині твори довжин катетів, то для вирішення цього завдання досить знати довжини двох його будь-яких сторін. Якщо ж потрібно вирішити зворотну задачу — знайти сторони прямокутного трикутника за його площі, то потрібна додаткова інформація.

Вам знадобиться

калькулятор або комп’ютер

Інструкція

  1. Щоб знайти боку рівнобедреного прямокутного трикутника за його площі, скористайтесь наступними формулами:

    К = √ (2 * Пл) або К = √ 2 * √ Пл і

    Д = 2 * √ Пл, де

    Пл — площа трикутника,

    К — довжина катета трикутника,

    Д — довжина його гіпотенузи.

    Довжини сторін при цьому будуть виражатися у відповідних площі лінійних одиницях виміру. Так, наприклад, якщо площа задана в квадратних сантиметрах (см ²), то довжини сторін будуть вимірюватися в сантиметрах (см).

    Обгрунтування формул.

    Площа рівнобедреного прямокутного трикутника:

    Пл = ½ * К ², значить До ² = 2 * Пл.

    Теорема Піфагора для рівнобедреного прямокутного трикутника:

    Д ² = 2 * К ², значить Д = √ 2 * К.

    Нехай, наприклад, площа рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнює 25 см ². У цьому випадку, довжина його катетів буде дорівнювати:

    К = √ 2 * √ 25 = 5 √ 2, а довжина гіпотенузи:

    Д = 2 * √ 25 = 10.
  2. Щоб знайти довжину сторін прямокутного трикутника за її площі в загальному випадку, дізнайтесь значення якого-небудь з додаткових параметрів. Це може бути співвідношення катетів або співвідношення катета і гіпотенузи, один з гострих кутів трикутника, довжина однієї із сторін або його периметр.

    Для розрахунку довжин сторін трикутника в кожному конкретному випадку скористайтеся теоремою Піфагора (Д ² = К1 ² + К2 ²) і наступним рівністю:

    Пл = ½ * К1 * К2, де

    К1 і К2 — довжини катетів.

    Звідси випливає, що: К1 = 2ПЛ / К2 і, навпаки, К2 = 2ПЛ / К1.
  3. Так, наприклад, якщо співвідношення катетів прямокутного трикутника (К1/К2) дорівнює СКК,

    то К1 = СКК * К2 = СКК * 2ПЛ / К1, значить,

    К1 = √ (2 * СКК * Пл)

    К2 = √ (2 * СКК * Пл) / СКК

    Д = √ ((2 * СКК * Пл) + ((2 * СКК * Пл) / СКК))

    Нехай площа прямокутного трикутника — 25 см ², а співвідношення його катетів (К1/К2) дорівнює 2, тоді за вищенаведеною формулою виходить:

    К1 = √ (2 * 2 * 25) = 10,

    К2 = 10 / 2 = 5,

    Д = √ (10 ² +5 ²) = √ 125
  4. Аналогічно обчислюються довжини сторін і в інших випадках. Нехай, наприклад, відомі площа (Пл) і периметр (Пе) прямокутного трикутника.

    Так як Пе = К1 + К2 + Д, а Д ² = К1 ² + К2 ², то виходить система з трьох рівнянь:

    К1 + К2 + Д = Пе

    К1 ² + К2 ² = Д ²

    К1 * К2 = 2ПЛ,

    при вирішенні якої в кожному конкретному випадку визначаються довжини сторін трикутника.

    Нехай, наприклад, площа прямокутного трикутника 6, а периметр — 12 (відповідних одиниць).

    У цьому випадку виходить наступна система:

    К1 + К2 + Д = 12

    К1 ² + К ² = Д ²

    К1 * К2 = 12,

    вирішивши яку, можна дізнатися, що довжини сторін трикутника дорівнюють 3, 4, 5.