У деяких завданнях з геометрії потрібно знайти площу прямокутного трикутника, якщо відомі довжини його сторін. Так як довжини сторін прямокутного трикутника пов’язані теоремою Піфагора, а його площа дорівнює половині твори довжин катетів, то для вирішення цього завдання досить знати довжини двох його будь-яких сторін. Якщо ж потрібно вирішити зворотну задачу — знайти сторони прямокутного трикутника за його площі, то потрібна додаткова інформація.
Вам знадобиться
калькулятор або комп’ютер
Інструкція
- Щоб знайти боку рівнобедреного прямокутного трикутника за його площі, скористайтесь наступними формулами:
К = √ (2 * Пл) або К = √ 2 * √ Пл і
Д = 2 * √ Пл, де
Пл — площа трикутника,
К — довжина катета трикутника,
Д — довжина його гіпотенузи.
Довжини сторін при цьому будуть виражатися у відповідних площі лінійних одиницях виміру. Так, наприклад, якщо площа задана в квадратних сантиметрах (см ²), то довжини сторін будуть вимірюватися в сантиметрах (см).
Обгрунтування формул.
Площа рівнобедреного прямокутного трикутника:
Пл = ½ * К ², значить До ² = 2 * Пл.
Теорема Піфагора для рівнобедреного прямокутного трикутника:
Д ² = 2 * К ², значить Д = √ 2 * К.
Нехай, наприклад, площа рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнює 25 см ². У цьому випадку, довжина його катетів буде дорівнювати:
К = √ 2 * √ 25 = 5 √ 2, а довжина гіпотенузи:
Д = 2 * √ 25 = 10. - Щоб знайти довжину сторін прямокутного трикутника за її площі в загальному випадку, дізнайтесь значення якого-небудь з додаткових параметрів. Це може бути співвідношення катетів або співвідношення катета і гіпотенузи, один з гострих кутів трикутника, довжина однієї із сторін або його периметр.
Для розрахунку довжин сторін трикутника в кожному конкретному випадку скористайтеся теоремою Піфагора (Д ² = К1 ² + К2 ²) і наступним рівністю:
Пл = ½ * К1 * К2, де
К1 і К2 — довжини катетів.
Звідси випливає, що: К1 = 2ПЛ / К2 і, навпаки, К2 = 2ПЛ / К1. - Так, наприклад, якщо співвідношення катетів прямокутного трикутника (К1/К2) дорівнює СКК,
то К1 = СКК * К2 = СКК * 2ПЛ / К1, значить,
К1 = √ (2 * СКК * Пл)
К2 = √ (2 * СКК * Пл) / СКК
Д = √ ((2 * СКК * Пл) + ((2 * СКК * Пл) / СКК))
Нехай площа прямокутного трикутника — 25 см ², а співвідношення його катетів (К1/К2) дорівнює 2, тоді за вищенаведеною формулою виходить:
К1 = √ (2 * 2 * 25) = 10,
К2 = 10 / 2 = 5,
Д = √ (10 ² +5 ²) = √ 125 - Аналогічно обчислюються довжини сторін і в інших випадках. Нехай, наприклад, відомі площа (Пл) і периметр (Пе) прямокутного трикутника.
Так як Пе = К1 + К2 + Д, а Д ² = К1 ² + К2 ², то виходить система з трьох рівнянь:
К1 + К2 + Д = Пе
К1 ² + К2 ² = Д ²
К1 * К2 = 2ПЛ,
при вирішенні якої в кожному конкретному випадку визначаються довжини сторін трикутника.
Нехай, наприклад, площа прямокутного трикутника 6, а периметр — 12 (відповідних одиниць).
У цьому випадку виходить наступна система:
К1 + К2 + Д = 12
К1 ² + К ² = Д ²
К1 * К2 = 12,
вирішивши яку, можна дізнатися, що довжини сторін трикутника дорівнюють 3, 4, 5.
