Як знайти сторони прямокутного трикутника, знаючи площу

Як знайти сторони прямокутного трикутника, знаючи площу

У прямокутному трикутнику один кут прямий, інші два — гострі. Сторона, що протистоїть прямого кута, називається гіпотенузою, інші дві сторони — катети. Знаючи площу прямокутного трикутника, можна обчислити боку за відомою формулою.

Інструкція

  1. У прямокутному трикутнику катети перпендикулярні один одному, отже, загальна формула площі трикутника S = (c * h) / 2 (де з — підстава, а h — висота, проведена до цієї підстави) перетворюється на половину твору довжин катетів S = (a * b) / 2.
  2. Завдання 1.

    Знайдіть довжини всіх сторін прямокутного трикутника, якщо відомо, що довжина одного катета перевищує довжину іншого на 1 см, а площа трикутника дорівнює 28 см.

    Рішення.

    Запишіть основну формулу площі S = (a * b) / 2 = 28. Відомо, що b = a + 1, підставте це значення в формулу: 28 = (a * (a +1)) / 2.

    Розкрийте дужки, отримаєте квадратне рівняння з однією невідомою a ^ 2 + a — 56 = 0.

    Знайдіть корені цього рівняння, для чого порахуйте дискримінант D = 1 + 224 = 225. Рівняння має два рішення: a_1 = (-1 + √ 225) / 2 = (-1 + 15) / 2 = 7 і a_2 = (-1 — √ 225) / 2 = (-1 — 15) / 2 = — 8.

    Другий корінь не має сенсу, оскільки довжина відрізка може бути негативною величиною, так що a = 7 (см).

    Знайдіть довжина другого катета b = a + 1 = 8 (см).

    Залишилось знайти довжину третьої сторони. За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 = 49 + 64, звідси c = √ (49 + 64) = √ 113 ≈ 10.6 (см).
  3. Завдання 2.

    Знайдіть довжини всіх сторін прямокутного трикутника, якщо відомо, що його площа дорівнює 14 см, а кут ACB дорівнює 30 °.

    Рішення.

    Запишіть основну формулу S = (a * b) / 2 = 14.

    Тепер висловіть довжини катетів через твір гіпотенузи і тригонометричних функцій по властивості прямокутного трикутника:

    a = c * cos (ACB) = c * cos (30 °) = c * (√ 3 / 2) ≈ 0.87 * c.

    b = c * sin (ACB) = c * sin (30 °) = c * (1 / 2) = 0.5 * c.

    Підставте отримані значення в формулу площі:

    14 = (0.87 * 0.5 * c ^ 2) / 2, звідки:

    28 ≈ 0.435 * c ^ 2 → c = √ 64.4 ≈ 8 (см).

    Ви знайшли довжину гіпотенузи, тепер знайдіть довжини двох інших сторін:

    a = 0.87 * c = 0.87 * 8 ≈ 7 (см), b = 0.5 * c = 0.5 * 8 = 4 (см).