Як знайти сторону трикутника, знаючи бік і кут

Як знайти сторону трикутника, знаючи бік і кут

У загальному випадку знання довжини одного боку і одного кута трикутника недостатньо для визначення довжини іншого боку. Цих даних може бути достатньо для визначення сторін прямокутного трикутника, а також рівнобедреного трикутника. У загальному ж випадку необхідно знати ще один параметр трикутника.

Вам знадобиться

Сторони трикутника, кути трикутника

Інструкція

  1. Для початку можна розглянути окремі випадки і почати з випадку прямокутного трикутника. Якщо відомо, що трикутник прямокутний і відомий один з його гострих кутів, то по довжині однієї зі сторін можна знайти і лругіе сторони трикутника.

    Для знаходження довжини інших сторін необхідно знати, яка сторона трикутника задана — гіпотенуза або якийсь із катетів. Гіпотенуза лежить проти прямого кута, катети утворюють прямий кут.

    Розгляньте прямокутний трикутник ABC з прямим кутом ABC. Нехай задана його гіпотенуза AC і, наприклад, гострий кут BAC. Тоді катети трикутника будуть рівні: AB = AC * cos (BAC) (прилегла катет до кута BAC), BC = AC * sin (BAC) (катет, протилежний розі BAC).
  2. Нехай тепер задано той же кут BAC і, наприклад, катет AB. Тоді гіпотенуза AC цього прямокутного трикутника дорівнює: AC = AB / cos (BAC) (відповідно, AC = BC / sin (BAC)). Інший катет BC знаходиться по формулі BC = AB * tg (BAC).
  3. Інший приватний випадок — якщо трикутник ABC рівнобедрений (AB = AC). Нехай задано підставу BC. Якщо заданий кут BAC, то бічні сторони AB і AC можна знайти за формулою: AB = AC = (BC / 2) / sin (BAC / 2).

    Якщо заданий кут при основі ABC або ACB, то AB = AC = (BC / 2) / cos (ABC).
  4. Нехай задана одна з бічних сторін AB або AC. Якщо відомий кут BAC, то BC = 2 * AB * sin (BAC / 2). Якщо відомий кут ABC або кут ACB при підставі, то BC = 2 * AB * cos (ABC).
  5. Тепер можна розглянути загальний випадок трикутника, коли довжини одного боку і одного кута недостатньо для знаходження довжини іншого боку.

    Нехай у трикутнику ABC задана сторона AB і один з прилеглих до неї кутів, наприклад, кут ABC. Тоді, знаючи ще сторону BC, по теоремі косинусів можна знайти сторону AC. Вона дорівнюватиме: AC = sqrt ((AB ^ 2) + (BC ^ 2) -2 * AB * BC * cos (ABC))
  6. Нехай тепер відома сторона AB і протилежні їй кут ACB. Нехай також відомий, наприклад, кут ABC. По теоремі синусів AB / sin (ACB) = AC / sin (ABC). Отже, AC = AB * sin (ABC) / sin (ACB).