Як знайти тангенс, якщо відомий косинус

Як знайти тангенс, якщо відомий косинус

Поняття тангенса є одним з основних у тригонометрії. Воно позначає якусь тригонометричну функцію, яка є періодичною, але не наскрізною в області визначення, як синус і косинус. І має розриви в точках (+,-) Пі * n + Пі / 2, де n — це період функції. У Росії він позначається як tg (x). Його можна представити через будь-яку тригонометричну функцію, так як всі вони тісно взаємопов’язані між собою.

Вам знадобиться

Підручник з тригонометрії.

Інструкція

  1. Для того, щоб висловити тангенс кута через синус, потрібно згадати геометричне визначення тангенса. Отже, тангенсом гострого кута в прямокутному трикутнику, називають відношення протилежного катета до прилежащем.
  2. З іншого боку, розгляньте декартову систему координат, на якій накреслена одинична окружність з радіусом R = 1, і центром О в початку координат. Прийміть поворот проти годинникової стрілки, як позитивний, а у зворотний бік негативний.
  3. Позначте якусь точку M на колі. З неї опустіть перпендикуляр на вісь Ох, назвіть її точкою N. Вийшов трикутник OMN, у якого кут ONM є прямим.
  4. Тепер розгляньте гострий кут MON, за визначенням синуса і косинуса гострого кута у прямокутному трикутнику

    sin (MON) = MN / OM, cos (MON) = ON / OM. Тоді MN = sin (MON) * OM, а ON = cos (MON) * OM.
  5. Повернувшись до геометричного визначення тангенса (tg (MON) = MN / ON), підставте отримані вище вираження. Тоді:

    tg (MON) = sin (MON) * OM / cos (MON) * OM, скоротіть OM, тоді tg (MON) = sin (MON) / cos (MON).
  6. З основного тригонометричного тотожності (sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1) висловіть косинус, через синус:

    cos (x) = (1-sin ^ 2 (x)) ^ 0,5

    Підставте цей вираз в отримане на кроці 5. Тоді tg (MON) = sin (MON) / (1-sin ^ 2 (MON)) ^ 0,5.
  7. Іноді існує потреба в обчислення тангенса подвійного і половинчастого кута. Тут теж виведені співвідношення:

    tg (x / 2) = (1-cos (x)) / sin (x) = (1 — (1-sin ^ 2 (x)) ^ 0,5) / sin (x);

    tg (2x) = 2 * tg (x) / (1-tg ^ 2 (x)) = 2 * sin (x) / (1-sin ^ 2 (x)) ^ 0,5 / (1-sin ( x) / (1-sin ^ 2 (x)) ^ 0,5) ^ 2) =

    = 2 * sin (x) / (1-sin ^ 2 (x)) ^ 0,5 / (1-sin ^ 2 (x) / (1-sin ^ 2 (x)).
  8. Також можливо виразити квадрат тангенса через подвійний кут косинуса, або синус.

    tg ^ 2 (x) = (1-cos (2x)) / (1 + cos (2x)) = (1-1 +2 * sin ^ 2 (x)) / (1 +1-2 * sin ^ 2 (x)) = (sin ^ 2 (x)) / (1-sin ^ 2 (x)).

Зверніть увагу

Зверніть увагу на області допустимих значень при рішення рівнянь і нерівностей.

Корисні поради

Знання напам’ять основних тотожностей, допоможе швидко переходити від одних тригонометричних функцій до інших.