Як знайти точку перетину кіл

Як знайти точку перетину кіл

Геометричні завдання, які вирішуються аналітично за допомогою прийомів алгебри, є невід’ємною частиною програми шкільного навчання. Крім логічного та просторового мислення вони розвивають розуміння ключових взаємозв’язків між сутностями навколишнього світу і абстракціями, застосовуваними людьми для формалізації відносин між ними. Знаходження точок перетину найпростіших геометричних фігур — один з типів подібних завдань.

Інструкція

  1. Припустимо, що дані дві окружності, задані своїми радіусами R і r, а також координатами їх центрів — відповідно (x1, y1) та (x2, y2). Потрібно обчислити, чи перетинаються ці кола, і якщо так, то знайти координати точок перетину.

    Для простоти можна припустити, що центр однієї із заданих кіл збігається з початком координат. Тоді (x1, y1) = (0, 0), а (x2, y2) = (a, b). Також має сенс припускати, що a? 0 і b? 0.
  2. Таким чином, координати точки (або точок) перетину кіл, якщо вони є, повинні задовольняти системі з двох рівнянь:

    x ^ 2 + y ^ 2 = R ^ 2,

    (X — a) ^ 2 + (y — b) ^ 2 = r ^ 2.
  3. Після розкриття дужок рівняння набувають вигляду:

    x ^ 2 + y ^ 2 = R ^ 2,

    x ^ 2 + y ^ 2 — 2ax — 2by + a ^ 2 + b ^ 2 = r ^ 2.
  4. Тепер перше рівняння можна відняти з другого. Таким чином, квадрати змінних зникають, і виникає лінійне рівняння:-2ax — 2by = r ^ 2 — R ^ 2 — a ^ 2 — b ^ 2. З його допомогою можна висловити y через x:

    y = (r ^ 2 — R ^ 2 — a ^ 2 — b ^ 2 — 2ax) / 2b.
  5. Якщо підставити знайдене вираз для y в рівняння кола, завдання зводиться до вирішення квадратного рівняння: x ^ 2 + px + q = 0, де

    p = -2a/2b,

    q = (r ^ 2 — R ^ 2 — a ^ 2 — b ^ 2) / 2b — R ^ 2.
  6. Корені цього рівняння дозволять знайти координати точок перетину кіл. Якщо рівняння нерозв’язне в дійсних числах, то кола не перетинаються. Якщо коріння збігаються між собою, то кола стосуються один одного. Якщо коріння різні, то кола перетинаються.
  7. Якщо a = 0 або b = 0, то вихідні рівняння спрощуються. Наприклад, при b = 0 система рівнянь прийме вигляд:

    x ^ 2 + y2 = R ^ 2,

    (X — a) ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2.
  8. Після вирахування першого рівняння з другого виходить:

    - 2ax + a ^ 2 = r ^ 2 — R ^ 2.

    Його рішення: x = — (r ^ 2 — R ^ 2 — a2) / 2a. Очевидно, що в разі b = 0 центри обох кіл лежать на осі абсцис, і біля точок їх перетину буде однакова абсциса.
  9. Цей вираз для x можна підставити в перше рівняння кола та отримати квадратне рівняння відносно y. Його коріння — ординати точок перетину, якщо такі існують. Аналогічним чином знаходиться вираз для y, якщо a = 0.
  10. Якщо a = 0 і b = 0, але при цьому R? r, то одна з кіл свідомо знаходиться всередині іншого, і точки перетину відсутні. Якщо ж R = r, то кола співпадають, і точок їх перетину нескінченно багато.
  11. Якщо ні в одній з двох кіл центр не збігається з початком координат, то їх рівняння матимуть вигляд:

    (X — x1) ^ 2 + (y — y1) ^ 2 = R ^ 2,

    (X — x2) ^ 2 + (y — y2) ^ 2 = r ^ 2.

    Якщо перейти до нових координатах, що виходять зі старих методом паралельного перенесення: x? = X + x1, y? = Y + y1, то ці рівняння набувають вигляду:

    x ^ 2 + y ^ 2 = R ^ 2,

    (X? — (X1 + x2)) ^ 2 + (y? — (Y1 + y2)) ^ 2 = r ^ 2.

    Завдання, таким чином, зводиться до попередньої. Знайшовши рішення для x? і y?, можна легко повернутися до початкових координатах, звернувши рівняння для паралельного переносу.