Як знайти відстань від точки до площини

Відстань від точки до площини дорівнює довжині перпендикуляра, який опущено на площину з цієї точки. Всі подальші геометричні побудови та вимірювання засновані на цьому визначенні.

Вам знадобиться

- Лінійка;
- Креслярський трикутник з прямим кутом;
- Циркуль.

Інструкція

1. Щоб знайти відстань від точки до площини:
   
   • проведіть через цю точку пряму лінію, перпендикулярну цій площині;
   
   • знайдіть підставу перпендикуляра — точку перетину прямої з площиною;
   
   • виміряйте відстань між заданою точкою і підставою перпендикуляра.
2. Для знаходження відстані від точки до площини методами нарисної геометрії:
   
   • виберіть на площині довільну точку;
   
   • проведіть через неї дві прямі (лежачі в цій площині);
   
   • відновите перпендикуляр до площини, що проходить через цю точку (побудуйте пряму, перпендикулярну одночасно обом пересічним прямим);
   
   • проведіть через задану точку пряму паралельну, побудованому перпендикуляру;
   
   • знайдіть відстань між точкою перетину цієї прямої з площиною і заданою крапкою.
3. Якщо положення точки задано її тривимірними координатами, а становище площині — лінійним рівнянням, то, щоб знайти відстань від площини до точки, скористайтесь методами аналітичної геометрії:
   
   • позначте координати точки через x, y, z, відповідно (х — абсциса, y — ордината, z — аппликата);
   
   • позначте через А, В, С, D параметри рівняння площини (А — параметр при абсциссе, В — при ординате, С — при аплікат, D — вільний член);
   
   • обчисліть відстань від точки до площини за формулою:
   
   s = | (Ax + By + Cz + D) / √ (A ² + B ² + C ²) |,
   
   де s — оасстояніе між точкою і площиною,
   
   | | — Позначення абсолютного значення (або модуля) числа.
4. Приклад.
   
   Знайдіть відстань між точкою А з координатами (2, 3, -1) і площиною, заданої рівнянням: 7х-6У-6z +20 = 0.
   
   Рішення.
   
   З умов завдання випливає, що:
   
   х = 2,
   
   у = 3,
   
   z =- 1,
   
   A = 7,
   
   B =- 6,
   
   C =- 6,
   
   D = 20.
   
   Підставте ці значення у вищенаведену формулу.
   
   Вийде:
   
   s = | (7 * 2 + (-6) * 3 + (-6) * (-1) +20) / √ (7 ² + (-6 )²+(- 6) ²) | = | (14 — 18 +6 +20) / 11 | = 2.
   
   Відповідь:
   
   Відстань від точки до площини дорівнює 2 (умовним одиницям).