Як знайти відстань від точки до площини

Як знайти відстань від точки до площини

Відстань від точки до площини дорівнює довжині перпендикуляра, який опущено на площину з цієї точки. Всі подальші геометричні побудови та вимірювання засновані на цьому визначенні.

Вам знадобиться

- Лінійка;
- Креслярський трикутник з прямим кутом;
- Циркуль.

Інструкція

  1. Щоб знайти відстань від точки до площини:

    • проведіть через цю точку пряму лінію, перпендикулярну цій площині;

    • знайдіть підставу перпендикуляра — точку перетину прямої з площиною;

    • виміряйте відстань між заданою точкою і підставою перпендикуляра.
  2. Для знаходження відстані від точки до площини методами нарисної геометрії:

    • виберіть на площині довільну точку;

    • проведіть через неї дві прямі (лежачі в цій площині);

    • відновите перпендикуляр до площини, що проходить через цю точку (побудуйте пряму, перпендикулярну одночасно обом пересічним прямим);

    • проведіть через задану точку пряму паралельну, побудованому перпендикуляру;

    • знайдіть відстань між точкою перетину цієї прямої з площиною і заданою крапкою.
  3. Якщо положення точки задано її тривимірними координатами, а становище площині — лінійним рівнянням, то, щоб знайти відстань від площини до точки, скористайтесь методами аналітичної геометрії:

    • позначте координати точки через x, y, z, відповідно (х — абсциса, y — ордината, z — аппликата);

    • позначте через А, В, С, D параметри рівняння площини (А — параметр при абсциссе, В — при ординате, С — при аплікат, D — вільний член);

    • обчисліть відстань від точки до площини за формулою:

    s = | (Ax + By + Cz + D) / √ (A ² + B ² + C ²) |,

    де s — оасстояніе між точкою і площиною,

    | | — Позначення абсолютного значення (або модуля) числа.
  4. Приклад.

    Знайдіть відстань між точкою А з координатами (2, 3, -1) і площиною, заданої рівнянням: 7х-6У-6z +20 = 0.

    Рішення.

    З умов завдання випливає, що:

    х = 2,

    у = 3,

    z =- 1,

    A = 7,

    B =- 6,

    C =- 6,

    D = 20.

    Підставте ці значення у вищенаведену формулу.

    Вийде:

    s = | (7 * 2 + (-6) * 3 + (-6) * (-1) +20) / √ (7 ² + (-6 )²+(- 6) ²) | = | (14 — 18 +6 +20) / 11 | = 2.

    Відповідь:

    Відстань від точки до площини дорівнює 2 (умовним одиницям).