Як знайти висоту правильної трикутної піраміди

Як знайти висоту правильної трикутної піраміди

Піраміда — це об’ємна фігура, кожна з бічних граней якої має форму трикутника. Якщо і в основі теж лежить трикутник, а всі ребра мають однакову довжину, то це — правильна трикутна піраміда. У цієї об’ємної фігури чотири грані, тому часто її називають «тетраедром» — від грецького слова «чотиригранник». Перпендикулярний основи відрізок прямої лінії, що проходить через вершину такої фігури, називається висотою піраміди.

Інструкція

  1. Якщо відома площа основи тетраедра (S) і його обсяг (V), то для обчислення висоти (H) можна задіяти спільну для всіх типів пірамід формулу, що зв’язує ці параметри. Делите потроєний обсяг на площу основи — отриманий результат і буде висотою піраміди: H = 3 * V / S.
  2. Якщо площа основи невідома з умов завдання, а дані лише об’єм (V) і довжина ребра (a) багатогранника, то відсутню змінну у формулі з попереднього кроку можна замінити її еквівалентом, вираженим через довжину ребра. Площа правильного трикутника (він, як ви пам’ятаєте, лежить в основі піраміди розглянутого типу) дорівнює однієї чверті від твору квадратного кореня з трійки на зведену в квадрат довжину сторони. Підставте цей вираз замість площі підстави в формулу з попереднього кроку, і отримаєте такий результат: H = 3 * V * 4 / (a ​​² * √ 3) = 12 * V / (a ​​² * √ 3).
  3. Оскільки обсяг тетраедра теж можна виразити через довжину ребра, то з формули обчислення висоти фігури можна взагалі прибрати всі змінні, залишивши лише бік її трикутної грані. Обсяг цієї піраміди обчислюється діленням на 12 твори квадратного кореня з двійки на зведену в куб довжину грані. Підставте цей вираз у формулу з попереднього кроку, і отримаєте в результаті: H = 12 * (a ³ * √ 2 / 12) / (a ​​² * √ 3) = (a ³ * √ 2) / (a ​​² * √ 3) = a * √ ⅔ = ⅓ * a * √ 6.
  4. Правильну трикутну призму можна вписати в сферу, а знаючи тільки її радіус (R) можна обчислити і висоту тетраедра. Довжина ребра дорівнює учетверенной співвідношенню радіусу і квадратного кореня з шістки. Замініть цим виразом змінну a у формулі з попереднього кроку і отримаєте таке рівність: H = ⅓ * √ 6 * 4 * R / √ 6 = 4 * r / 3.
  5. Аналогічну формулу можна отримати і знаючи радіус (r) вписаною в тетраедр кола. У цьому випадку довжина ребра дорівнюватиме дванадцяти співвідношенням між радіусом і квадратним коренем з шістки. Підставте цей вираз у формулу з третього кроку: H = ⅓ * a * √ 6 = ⅓ * √ 6 * 12 * R / √ 6 = 4 * R.