Як знайти висоту тетраедра

Як знайти висоту тетраедра

Тетраедр є окремим випадком піраміди. Всі його межі представляють собою трикутники. Крім правильного тетраедра, у якого всі грані є равносторонние трикутники, є ще кілька видів цього геометричного тіла. Розрізняють равногранний, прямокутний, ортоцентрического і каркасний тетраедри. Для того щоб знайти його висоту, потрібно насамперед визначити його вид.

Вам знадобиться

- Креслення тетраедра;
- Олівець;
- Лінійка.

Інструкція

  1. Побудуйте тетраедр із заданими параметрами. В умовах завдання повинні бути дані вид тетраедра, розміри ребер і кути між гранями. Для правильного тетраедра достатньо знати довжину ребра. Як правило, мова йде про правильні рівносторонніх тетраедрах.
  2. Повторіть властивості рівностороннього трикутника. У них рівні всі кути і складають по 60 °. Під таким же кутом нахилені всі грані до основи. За основу можна взяти будь-яку сторону.
  3. Виконайте необхідні геометричні побудови. Накресліть тетраедр із заданою стороною. Одну з граней його розташуєте строго горизонтально. Позначте трикутник підстави як ABC, а вершину тетраедра — як S. З кутка S проведіть до основи висоту. Точку перетину позначте О. Оскільки всі трикутники, з яких складається дане геометричне тіло, рівні між собою, то і висоти, проведені з різних вершин до граней, теж будуть рівні.
  4. З тієї ж точки S опустіть висоту і до протилежного ребру АВ. Поставте крапку F. Це ребро є спільним для рівносторонніх трикутників АВС і АВS. З’єднайте точку F з противолежащей даному ребру точкою С. Вона буде одночасно бути заввишки, медіаною і бісектрисою кута С. Знайдіть рівні сторони трикутника FSC. Сторона CS задана в умови і дорівнює a. Тоді FS = а √ 3 / 2. Ця сторона дорівнює FC.
  5. Знайдіть периметр трикутника FCS. Він дорівнює половині суми сторін трикутника. Підставивши у формулу значення відомою і знайдених сторін даного трикутника, ви отримаєте формулу p = 1 / 2 * (a +2 а √ 3 / 2) = 1/2a (1 + √ 3), де а — задана сторона тетраедра, а p — напівпериметр.
  6. Згадайте, чому дорівнює висота рівнобедреного трикутника, проведена до однієї з його рівних сторін. Обчисліть висоту OF. Вона дорівнює кореню квадратному з твору напівпериметр і його різниць з трьома сторонами, поділеній на довжину сторони FC, тобто на а * √ 3 / 2. Зробіть необхідні скорочення. У результаті у вас вийде формула: висота дорівнює кореню квадратному з двох третин, помноженому на a. H = a * √ 2 / 3.

Корисні поради

Для всіх інших видів тетраедра також необхідно виконати додаткові побудови, щоб висота була одночасно стороною трикутника з відомими вам параметрами. Обчислювати її можна різними способами, використовуючи теорему Піфагора, теореми синусів і косинусів. Спосіб визначається в залежності від того, якими даними ви маєте в своєму розпорядженні.