Як знайти висоту в правильній піраміді

Як знайти висоту в правильній піраміді

Форму багатогранників, в тому числі, і піраміди, мають багато реальні об’єкти, наприклад, знамениті піраміди Єгипту. Дана геометрична фігура має декілька параметрів, основним з яких є висота.

Інструкція

  1. Визначте, чи є піраміда, висоту якої вам необхідно знайти за умовами задачі, правильною. Такою вважається піраміда, у якій підставою є будь-який правильний багатокутник (має рівні сторони), а висота падає в центр підстави.
  2. Перший випадок виникає, якщо в основі піраміди лежить квадрат. Проведіть висоту, перпендикулярну площині підстави. В результаті цього, всередині піраміди вийде прямокутний трикутник. Його гіпотенуза є ребром піраміди, а більший катет — її висотою. Менший катет цього трикутника проходить через діагональ квадрата і чисельно дорівнює її половині. Якщо дано кут між ребром і площиною основи піраміди, а також одна зі сторін квадрата, то висоту піраміди в цьому випадку знайдіть, використовуючи властивості квадрата і теорему Піфагора. Катет дорівнює половині діагоналі. Оскільки сторона квадрата дорівнює a, і при цьому, діагональ дорівнює a √ 2, знайдіть гіпотенузу трикутника наступним чином:

    x = a √ 2/2cosα
  3. Відповідно, знаючи гіпотенузу і менший катет трикутника, по теоремі Піфагора виведіть формулу для знаходження висоти піраміди:

     H = √ [(a √ 2) / 2cosα] ^ 2 — [(a √ 2 / 2) ^ 2] = √ [a ^ 2 / 2 * (1-cos ^ 2α) / √ cos ^ 2α] = a * tgα / √ 2, де [(1-cos ^ 2α) / cos ^ 2α = tg ^ 2α]
  4. Якщо в основі піраміди є правильний трикутник, то її висота буде утворювати з ребром піраміди прямокутний трикутник. Менший катет проходить через висоту підстави. У правильному трикутнику висота одночасно є і медіаною.

    З властивостей правильного трикутника відомо, що його менший катет дорівнює a √ 3 / 3. Знаючи кут між ребром піраміди і площиною підстави, знайдіть гіпотенузу (вона ж є ребром піраміди). Висоту піраміди визначте по теоремі Піфагора:

    H = √ (a √ 3/3cosα) ^ 2 — (a √ 3 / 3) ^ 2 = a * tgα / √ 3
  5. У деяких пірамід підставою є п’яти-або шестикутник. Така піраміда також вважається правильною, якщо всі сторони її підстави рівні. Так, наприклад, висоту п’ятикутника знаходите наступним чином:

     h = √ 5 +2 √ 5a / 2, де a — сторона п’ятикутника

    Цією властивістю скористайтеся для знаходження ребра піраміди, а потім і її висоти. Менший катет дорівнює половині цієї висоти:

     k = √ 5 +2 √ 5a / 4
  6. Відповідно, гіпотенузу прямокутного трикутника знайдіть наступним чином:

    k / cosα = √ 5 +2 √ 5a/4cosα

    Далі, як і в попередніх випадках, висоту піраміди знайдіть по теоремі Піфагора:

    H = √ [(√ 5 +2 √ 5a/4cosα) ^ 2 - (√ 5 +2 √ 5a / 4) ^ 2]