Як знайти висоту в прямокутному трикутнику

Як знайти висоту в прямокутному трикутнику

Прямокутний трикутник — це трикутник, в якому один з кутів дорівнює 90 °. Очевидно, що катети прямокутного трикутника є двома його висотами. Знайдемо третину висоти, опущену з вершини прямого кута до гіпотенузі.

Інструкція

  1. Як знайти висоту в прямокутному трикутнику
    Розглянемо прямокутний трикутник ABC, де ∠ ABC = 90 °. Опустимо з цього кута висоту h на гіпотенузу AC, точку перетину висоти з гіпотенузою позначимо D.
  2. Трикутник ADB подібний трикутнику ABC з двох кутках: ∠ ABC = ∠ ADB = 90 °, ∠ BAD — загальний. З подоби трикутників отримуємо співвідношення сторін: AD / AB = BD / BC = AB / AC. Беремо перше і останнє співвідношення пропорції і отримуємо, що AD = AB ² / AC.
  3. Оскільки трикутник ADB прямокутний, для нього справедлива теорема Піфагора: AB ² = AD ² + BD ². Підставляємо в це рівність AD. Виходить, що BD ² = AB ² — (AB ² / AC) ². Або, що те ж, BD ² = AB ² (AC ²-AB ²) / AC ². Так як трикутник ABC прямокутний, то AC ² — AB ² = BC ², тоді отримаємо BD ² = AB ² BC ² / AC ² або, витягуючи корінь з обох частин рівності, BD = AB * BC / AC.
  4. З іншого боку, трикутник BDC також подібний трикутнику ABC з двох кутках: ∠ ABC = ∠ BDC = 90 °, ∠ DCB — загальний. З подоби цих трикутників отримуємо співвідношення сторін: BD / AB = DC / BC = BC / AC. З цієї пропорції висловлюємо DC через сторони початкового прямокутного трикутника. Для цього розглядаємо друга рівність в пропорції і отримуємо, що DC = BC ² / AC.
  5. Зі співвідношення, отриманого в кроці 2, маємо, що AB ² = AD * AC. З кроку 4 маємо, що BC ² = DC * AC. Тоді BD ² = (AB * BC / AC) ² = AD * AC * DC * AC / AC ² = AD * DC. Таким чином, висота BD дорівнює кореню з добутку AD і DC або, як кажуть, середньому геометричному частин, на які ця висота розбиває гіпотенузу трикутника.