Як знайти всі дільники числа

Як знайти всі дільники числа

Число b називається дільником цілого числа a, якщо існує таке ціле число q, що bq = a. Зазвичай розглядається подільність натуральних чисел. Само ділене a називатиметься кратним числа b. Пошук всіх дільників числа здійснюється за певними правилами.

Вам знадобиться

Ознаки подільності

Інструкція

  1. Для початку переконаємося, що будь-яке натуральне число, більше одиниці, має принаймні два дільника — одиницю і саме себе. Дійсно, a: 1 = a, a: a = 1. Числа, що мають тільки два дільника, називаються простими. Єдиний дільник одиниці — це, очевидно, одиниця. Тобто одиниця не є простим числом (і не є складовим, як ми побачимо далі).
  2. Числа, які мають більше двох дільників, називаються складеними. Які ж числа можуть бути складовими?

    Так як парні числа діляться на 2 без остачі, то всі парні числа, крім числа 2, будуть складовими. Дійсно, при розподілі 2:2 двійка ділиться саму на себе, тобто має тільки два дільника (1 і 2) і є простим числом.
  3. Подивимося, чи є у парного числа ще каки-небудь подільники. Розділимо його спочатку на 2. З коммутативности операції множення очевидно, що вийшло приватне також буде дільником числа. Потім, якщо вийшло приватне буде цілим, розділимо знову на 2 вже це приватне. Тоді вийшло в результаті нове приватне y = (x: 2): 2 = x: 4 теж буде дільником вихідного числа. Аналогічно, і 4 буде дільником вихідного числа.
  4. Продовжуючи цей ланцюжок, узагальнимо правило: послідовно ділимо спочатку парне число а потім вийшло приватні на 2 до тих пір, поки будь-яке приватне не стане одно непарному числу. При цьому всі отримані приватні будуть дільниками цього числа. Крім цього дільниками цього числа будуть і числа 2 ^ k де k = 1 … n, де n — число кроків цього ланцюжка.

    Приклад: 24:2 = 12, 12:2 = 6, 6:2 = 3 — непарне число. Отже, 12, 6 і 3 — подільники числа 24. У цьому ланцюжку 3 кроки, отже, дільниками числа 24 будуть також числа 2 ^ 1 = 2 (вже відомо з парності числа 24), 2 ^ 2 = 4 і 2 ^ 3 = 8. Таким чином, числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 і 24 будуть дільниками числа 24.
  5. Однак не для всіх парних чисел ця схема може дати всі дільники числа. Розглянемо, наприклад, число 42. 42:2 = 21. Проте, як відомо, числа 3, 6 і 7 також будуть дільниками числа 42.

    Існують ознаки подільності на певні числа. Розглянемо найважливіші з них:

    Ознака подільності на 3: коли сума цифр числа ділиться на 3 без залишку.

    Ознака подільності на 5: коли остання цифра числа 5 або 0.

    Ознака подільності на 7: коли результат віднімання подвоєною останньої цифри з цього числа без останньої цифри ділиться на 7.

    Ознака подільності на 9: коли сума цифр числа ділиться на 9 без залишку.

    Ознака подільності на 11: коли сума цифр, що займають непарні місця, або дорівнює сумі цифр, що займають парні місця, або відрізняється від неї на число, що ділиться на 11.

    Існують також ознаки подільності на 13, 17, 19, 23 і інші числа.
  6. Як для парних, так і для непарних чисел потрібно використовувати ознаки поділу на те чи інше число. Розділивши число, слід визначити подільники отриманого приватного і.т.д. (Ланцюжок аналогічна ланцюжка парних чисел при розподілі їх на 2, описаної вище).