Як знайти знаменник геометричної прогресії

Як знайти знаменник геометричної прогресії

Згідно з визначенням, геометрична прогресія — це послідовність нерівних нулю чисел, кожне наступне з яких дорівнює попередньому, помноженому на деяке постійне число (знаменник прогресії). При цьому в геометричній прогресії не повинно бути ні одного нуля, інакше вся послідовність «обнуляться», що суперечить визначенню. Щоб знайти знаменник достатньо знати значення двох її сусідніх членів. Однак, не завжди умови задачі бувають настільки простими.

Вам знадобиться

калькулятор

Інструкція

  1. Розділіть будь-який член прогресії на попередній. Якщо значення попереднього члена прогресії невідоме або невизначене (наприклад, для першого члена прогресії), то розділіть на будь-який член послідовності значення подальшого члена прогресії.

    Так як ні один член геометричної прогресії не дорівнює нулю, то при виконанні цієї операції не повинно виникнути проблем.
  2. Приклад.

    Нехай є послідовність чисел:

    10, 30, 90, 270 …

    Потрібно знайти знаменник геометричної прогресії.

    Рішення:

    1 варіант. Візьмемо довільний член прогресії (наприклад, 90) і розділимо його на попередній (30): 90/30 = 3.

    2 варіант. Візьмемо будь-який член геометричної прогресії (наприклад, 10) і розділимо на нього наступний (30): 30/10 = 3.

    Відповідь: знаменник геометричної прогресії 10, 30, 90, 270 … дорівнює 3.
  3. Якщо значення членів геометричної прогресії задані не явно, а у формі співвідношень, то складіть і вирішіть систему рівнянь.

    Приклад.

    Сума першого і четвертого члена геометричної прогресії дорівнює 400 (b1 + b4 = 400), а сума другого і п’ятого члена дорівнює 100 (b2 + b5 = 100).

    Потрібно знайти знаменник прогресії.

    Рішення:

    Запишіть умову задачі у вигляді системи рівнянь:

    b1 + b4 = 400

    b2 + b5 = 100

    З визначення геометричній прогресії випливає, що:

    b2 = b1 * q

    b4 = b1 * q ^ 3

    b5 = b1 * q ^ 4, де q — загальноприйняте позначення знаменника геометричній прогресії.

    Підставивши в систему рівнянь значення членів прогресії, отримаєте:

    b1 + b1 * q ^ 3 = 400

    b1 * q b1 * q ^ 4 = 100

    Після розкладання на множники виходить:

    b1 * (1 + q ^ 3) = 400

    b1 * q (1 + q ^ 3) = 100

    Тепер розділіть відповідні частини другого рівняння на перше:

    [B1 * q (1 + q ^ 3)] / [b1 * (1 + q ^ 3)] = 100/400, звідки: q = 1 / 4.
  4. Якщо відома сума кількох членів геометричної прогресії або сума всіх членів спадної геометричної прогресії, то для знаходження знаменника прогресії скористайтеся відповідними формулами:

    Sn = b1 * (1-q ^ n) / (1-q), де Sn — сума n перших членів геометричної прогресії і

    S = b1 / (1-q), де S — сума нескінченно спадної геометричної прогресії (сума всіх членів прогресії зі знаменником меншим одиниці).

    Приклад.

    Перший член спадної геометричної прогресії дорівнює одиниці, а сума всіх її членів дорівнює двом.

    Потрібно визначити знаменник цього прогресії.

    Рішення:

    Підставте дані із завдання в формулу. Вийде:

    2 = 1 / (1-q), звідки — q = 1 / 2.