Як знайти золотий перетин

Як знайти золотий перетин

Золотий перетин — пропорція, яку здавна вважали найбільш досконалою і гармонійною. Вона закладена в основу конструкцій безлічі древніх споруд, від статуй до храмів, і дуже часто зустрічається в природі. Разом з тим ця пропорція виражається дивно витонченими математичними конструкціями.

Інструкція

  1. Золота пропорція визначається таким чином: це таке розбиття відрізка на дві частини, що менша частина відноситься до більшої так само, як більша частина — до всього відрізка.
  2. Якщо довжину всього відрізка прийняти за 1, а довжину здебільшого — за x, то шукана пропорція виразиться рівнянням:

    (1 — x) / x = x / 1.

    Примножуючи обидві частини пропорції на x і переносячи складові, отримуємо квадратне рівняння:

    x ^ 2 + x — 1 = 0.
  3. Рівняння має два дійсних кореня, з яких нас, природно, цікавить тільки позитивний. Він дорівнює (√ 5 — 1) / 2, що приблизно дорівнює 0,618. Це число і висловлює золотий перетин. У математиці його найчастіше позначають буквою φ.
  4. Число φ має низку чудових математичних властивостей. Наприклад, навіть з вихідного рівняння видно, що 1 / φ = φ + 1. Дійсно, 1 / (0,618) = 1,618.
  5. Інший спосіб обчислити золоту пропорцію полягає у використанні нескінченної дробу. Починаючи з будь-якого довільного x, можна послідовно побудувати дріб:

    x

    1 / (x + 1)

    1 / (1 / (x +1) + 1)

    1 / (1 / (1 / (x +1) + 1) +1)

    і так далі.
  6. Для полегшення обчислень цей дріб можна представити у вигляді ітеративної процедури, в якій для обчислення наступного кроку потрібно додати одиницю до результату попереднього кроку і розділити одиницю на число, що вийшло. Іншими словами:

    x0 = x

    x (n + 1) = 1 / (xn + 1).

    Цей процес сходиться, і його межа дорівнює φ + 1.
  7. Якщо замінити обчислення оберненої величини витяганням квадратного кореня, тобто провести ітеративний цикл:

    x0 = x

    x (n + 1) = √ (xn + 1),

    то результат залишиться незмінним: незалежно від спочатку обраного x ітерації сходяться до значення φ + 1.
  8. Геометрично золотий перетин можна побудувати за допомогою правильного п’ятикутника. Якщо провести в ньому дві пересічні діагоналі, то кожна з них розділить іншу строго у золотому співвідношенні. Це спостереження, згідно з переказами, належить Піфагору, який був так вражений знайденої закономірністю, що вважав за правильну п’ятикутну зірку (пентаграму) священним божественним символом.
  9. Причини, за якими саме золотий перетин здається людині найбільш гармонійним, невідомі. Однак експерименти неодноразово підтверджували, що випробовувані, яким було доручено найбільш красиво розділити відрізок на дві нерівні частини, роблять це в пропорціях, дуже близьких до золотого співвідношенню.