Золотий перетин — пропорція, яку здавна вважали найбільш досконалою і гармонійною. Вона закладена в основу конструкцій безлічі древніх споруд, від статуй до храмів, і дуже часто зустрічається в природі. Разом з тим ця пропорція виражається дивно витонченими математичними конструкціями.
Інструкція
- Золота пропорція визначається таким чином: це таке розбиття відрізка на дві частини, що менша частина відноситься до більшої так само, як більша частина — до всього відрізка.
- Якщо довжину всього відрізка прийняти за 1, а довжину здебільшого — за x, то шукана пропорція виразиться рівнянням:
(1 — x) / x = x / 1.
Примножуючи обидві частини пропорції на x і переносячи складові, отримуємо квадратне рівняння:
x ^ 2 + x — 1 = 0. - Рівняння має два дійсних кореня, з яких нас, природно, цікавить тільки позитивний. Він дорівнює (√ 5 — 1) / 2, що приблизно дорівнює 0,618. Це число і висловлює золотий перетин. У математиці його найчастіше позначають буквою φ.
- Число φ має низку чудових математичних властивостей. Наприклад, навіть з вихідного рівняння видно, що 1 / φ = φ + 1. Дійсно, 1 / (0,618) = 1,618.
- Інший спосіб обчислити золоту пропорцію полягає у використанні нескінченної дробу. Починаючи з будь-якого довільного x, можна послідовно побудувати дріб:
x
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x +1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x +1) + 1) +1)
і так далі. - Для полегшення обчислень цей дріб можна представити у вигляді ітеративної процедури, в якій для обчислення наступного кроку потрібно додати одиницю до результату попереднього кроку і розділити одиницю на число, що вийшло. Іншими словами:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Цей процес сходиться, і його межа дорівнює φ + 1. - Якщо замінити обчислення оберненої величини витяганням квадратного кореня, тобто провести ітеративний цикл:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1),
то результат залишиться незмінним: незалежно від спочатку обраного x ітерації сходяться до значення φ + 1. - Геометрично золотий перетин можна побудувати за допомогою правильного п’ятикутника. Якщо провести в ньому дві пересічні діагоналі, то кожна з них розділить іншу строго у золотому співвідношенні. Це спостереження, згідно з переказами, належить Піфагору, який був так вражений знайденої закономірністю, що вважав за правильну п’ятикутну зірку (пентаграму) священним божественним символом.
- Причини, за якими саме золотий перетин здається людині найбільш гармонійним, невідомі. Однак експерименти неодноразово підтверджували, що випробовувані, яким було доручено найбільш красиво розділити відрізок на дві нерівні частини, роблять це в пропорціях, дуже близьких до золотого співвідношенню.
