Як зробити згортку

Як зробити згортку

Поняття згортки відноситься до операційного обчисленню. Для того щоб детально розібратися з даним питанням, попередньо необхідно розглянути основні терміни і позначення, інакше зрозуміти тематику питання буде дуже складно.

Вам знадобиться

- Папір;
- Ручка.

Інструкція

  1. Функція f (t), де t ≥ 0, називається оригіналом, якщо: вона кусочно-неперервна або має кінцеве число точок розриву першого роду. При t0, S0> 0, S0 — зростання оригіналу).

    Кожному оригіналу можна поставити у відповідність функцію F (p) комплексного змінного значення р = s + iw, яка задається інтегралом Лапласа (див. рис.1) або перетворенням Лапласа.

    Функція F (p) називається зображенням оригіналу f (t). Для всякого оригіналу f (t) зображення існує і визначено в напівплощини комплексної площини Re (p)> S0, де S0 — показник зростання функції f (t).
  2. Тепер розглянемо поняття згортки.

    Визначення. Сверткой двох функцій f (t) і g (t), де t ≥ 0, називається нова функція аргументу t, яка визначається виразом (див. рис. 2)

    Операція отримання згортки називається згортанням функцій. Для операції згортки функцій виконуються всі закони множення. Наприклад, операція згортки має властивість комутативності, тобто згортка не залежить від порядку, в якому беруться функції f (t) і g (t)

                                                                     f (t) * g (t) = g (t) * f (t).
  3. Приклад 1. Обчисліть згортку функцій f (t) і g (t) = cos (t).

    t * cost = int (0-t) (scos (t-s) ds)

    Інтегруючи вираз по частинах: u = s, du = ds, dv = cos (ts) ds, v =- sin (ts), ви отримаєте:

    (-S) sin (ts) | (0-t) + int (0-t) (sin (ts) ds = cos (ts) | (0-s) = 1-cos (t).
  4. Теорема множення зображень.

    Якщо оригінал f (t) має зображення F (p), а g (t) — G (p), то твір зображень F (p) G (p) є зображення згортки функцій f (t) * g (t) = int (0-t) (f (s) g (ts) ds), тобто для твору зображень існує згортка оригіналів:

                                                                      F (p) G (p) =: f (t) * g (t).

    Теорема множення дозволяє знаходити оригінал, відповідний твору двох зображень F1 (p) і F2 (p), якщо відомі оригінали.

    Для цього існують спеціальні і досить великі таблиці відповідності оригіналів і зображень. Ці таблиці є в будь-якому математичному довіднику.
  5. Приклад 2. Знайдіть зображення згортки функцій exp (t) * sin (t) = int (0-t) (exp (ts) sin (s) ds).

    По таблиці відповідності оригіналів та зображень оригіналу sin (t): = 1 / (p ^ 2 +1), а exp (t): = 1 / (p-1). Значить, відповідне зображення буде мати вигляд: 1 / ((p ^ 2 +1) (p-1)).

    Приклад 3. Знайдіть (можна в інтегральному вигляді) оригінал w (t), зображення якого має вигляд

    W (p) = 1 / (5 (р-2)) — (р +2) / (5 (р ^ 2 +1), перетворивши це зображення на витвір W (p) = F (p) G (p) .

    F (p) G (p) = (1 / (p-2)) (1 / (p ^ 2 +1)). За таблицями відповідності оригіналів та зображень:

     1 / (p-2) =: exp (2t), 1 / (p ^ 2 +1) =: sin (t).

    Шуканий оригінал w (t) = exp (2t) * sint = sint int (0-t) (exp (2 (ts)) sin (s) ds), тобто (див. рис.3):

Корисні поради

Література:

1. Письмовий Д.Т. Конспект лекцій з вищої математики, ч.2. Айріс-прес, 2006. -256 С.